$f(x)=4 x+5-e^{3 x}$

$g(x)=4 x-3$

y además nos imponen los límites de integración $x=0$ y $x=\ln(6)$ (es un númeroooo!)

Arrancamos entonces buscando los puntos de intersección entre $f$ y $g$, veamos si tienen alguno dentro del intervalo $[0, \ln(6)]$

$4 x+5-e^{3 x} = 4x - 3$

$e^{3x} = 8$

Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros:

$3x = \ln(8)$

$x = \frac{\ln(8)}{3}$

Este punto de intersección, ponelo en la calcu, efectivamente está dentro de nuestro intervalo $[0, \ln(6)]$. 

Ahora nos fijamos quién es techo y quién es piso en cada uno de los intervalos que nos quedaron delimitados:

En el intervalo $[0, \frac{\ln(8)}{3})$ -> $f$ es techo y $g$ es piso

En el intervalo $(\frac{\ln(8)}{3}, \ln(6)]$ -> $g$ es techo y $f$ es piso

Con esta información nos armamos la integral del área:

$A = \int_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} (4x + 5 - e^{3x}) - (4x - 3) \, dx + \int_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} (4x - 3) - (4x + 5 - e^{3x}) \, dx $

Reacomodamos:

$ A = \int_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} (8 - e^{3x}) \, dx + \int_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} (-8 + e^{3x}) \, dx $

$ A = \int_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} 8 - e^{3x} \, dx - \int_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} 8 - e^{3x} \, dx $

Fijate ahora que para resolver esta integral necesitamos una primitiva de

$\int 8 - e^{3x} \, dx$

La integral de $8$ es simplemente $8x$ y la integral $\int e^{3x} \, dx$ sale por sustitución tomando $u = 3x$. Deberías llegar a:

$\int 8 - e^{3x} \, dx = 8x - \frac{1}{3} e^{3x} + C$

Teniendo esta primitiva, ya podemos calcular las dos integrales definidas que nos quedaron en la integral del área (y si, va a ser muy cuentoso...)

$\int_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} 8 - e^{3x} \, dx = 8x - \frac{1}{3} e^{3x} \Big|_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} = \frac{8 \ln(8)}{3} - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} \approx 3.21... $

$\int_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} 8 - e^{3x} \, dx = 8x - \frac{1}{3} e^{3x} \Big|_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} $

Bueno esta si es un choclazo, el resultado correcto al que deberías llegar es $\approx -60.5...$. 

Juntando ambos resultados nos queda:

$ A = \int_{0}^{\frac{\ln(8)}{3}} 8 - e^{3x} \, dx - \int_{\frac{\ln(8)}{3}}^{\ln 6} 8 - e^{3x} \, dx \approx 63.7... $

Aclaración anti-estrés: Repito como ya te dije en otros ejercicios, la única dificultad en esta parte es simplemente reemplazar y no confundirte en ningún signo ni ninguna cuenta, pero lo más importante del ejercicio ya está hecho. En el peor de los casos, si se toca algo así tan cuentoso en el parcial, acordate que siempre podés simplemente reemplazar las $x$ por cada límite de integración cuando aplicas el Barrow y lo dejás así, a partir de ahí el resultado ya está, es un número.